Конечная математика Примеры

$3 x + 2 y - z = - 16$ , $6 x - 4 y + 3 z = 12$ , $5 x - 2 y + 2 z = 4$

Этап 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & - 1 & - 16 \\ 6 & - 4 & 3 & 12 \\ 5 & - 2 & 2 & 4 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{- 16}{3} \\ 6 & - 4 & 3 & 12 \\ 5 & - 2 & 2 & 4 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 6 & - 4 & 3 & 12 \\ 5 & - 2 & 2 & 4 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 4 - 6 (\frac{2}{3}) & 3 - 6 (- \frac{1}{3}) & 12 - 6 (- \frac{16}{3}) \\ 5 & - 2 & 2 & 4 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 0 & - 8 & 5 & 44 \\ 5 & - 2 & 2 & 4 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 0 & - 8 & 5 & 44 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 2 - 5 (\frac{2}{3}) & 2 - 5 (- \frac{1}{3}) & 4 - 5 (- \frac{16}{3}) \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 0 & - 8 & 5 & 44 \\ 0 & - \frac{16}{3} & \frac{11}{3} & \frac{92}{3} \end{array}]$

Этап 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ - \frac{1}{8} \cdot 0 & - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot 5 & - \frac{1}{8} \cdot 44 \\ 0 & - \frac{16}{3} & \frac{11}{3} & \frac{92}{3} \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{11}{2} \\ 0 & - \frac{16}{3} & \frac{11}{3} & \frac{92}{3} \end{array}]$

Этап 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{16}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{16}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{11}{2} \\ 0 + \frac{16}{3} \cdot 0 & - \frac{16}{3} + \frac{16}{3} \cdot 1 & \frac{11}{3} + \frac{16}{3} (- \frac{5}{8}) & \frac{92}{3} + \frac{16}{3} (- \frac{11}{2}) \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{11}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

Этап 2.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $3$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $3$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{11}{2} \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 (\frac{4}{3}) \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{8} & - \frac{11}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{8} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{8} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 0 + \frac{5}{8} \cdot 0 & 1 + \frac{5}{8} \cdot 0 & - \frac{5}{8} + \frac{5}{8} \cdot 1 & - \frac{11}{2} + \frac{5}{8} \cdot 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2.7.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{16}{3} + \frac{1}{3} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & - 4 - \frac{2}{3} \cdot - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 2.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Этап 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = - 2$

$y = - 3$

$z = 4$

Этап 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(- 2, - 3, 4)$